Расширение в Google Chrome для дополнительного отчета.

В общем случае — нет. Точнее запретить никто не может, но нет никаких гарантий, чтобы не будем менять идентификаторы/имена css-классов/менять разметку, прочее.

Например, в текущий момент .name-column по какому-то совпадению уникален в системе и имеется только на панели отчётов. Но ничто не мешает в будущем появиться другому элементу совершенно в другом месте с таким же классом, либо класс у отчётов может пропасть, либо начнёт перестраивать DOM при каких-то изменениях и при следующем обновлении потеряет ваш элемент.

Некоторые наши партнёры используют возможность добавить на страницу скрипт по вашему урлу (делается для сайта через техподдержку), чтобы добавить на страницу кнопку чата (появляется в правом нижнем углу). Это не вызывает каких-либо проблем, ибо не вторгается в меняющуюся разметку, а живёт в своём абсолютно спозиционированном элементе. Это более предпочтительный вариант.

Если же вы всё-таки хотите куда-то что-то добавить, то лучше специфицировать селектор (сделать что-нибудь вроде #report_templates_filter_target #report_templates_filter_params .name-column).

Возможностей выполнить свой код в определённый момент времени нет. Могу посоветовать только делать проверку в цикле, пока не найдётся такой элемент:

loop();

function loop() {
    setTimeout(() => {
        let target = document.querySelector('some selector');
        if (!target) {
            // Продолжаем ждать
            loop();
            return;
        }

        // `target` в наличии, можно что-то делать
    }, 5000);
}